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斐波那契数列奇数项求和 斐波那契数列奇数项求和公式推导

来源: 更新时间:2022-11-09 03:21:26
The Beginning

1、利用特征方程的办法(这个请自行参阅组合数学相关的书)。设斐波那契数列的通项为An。(事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2, q = (√5 + 1)/2但这里不必解它),然后记Sn = A1 + A2 + ... + An,由于An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)= S(n-1) - S(n-3),其中初值为S1 = 1, S2 = 2, S3 = 4。所以Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0。从而其特征方程是x^3 - 2x^2 + 1 = 0即(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0,不难解这个三次方程得x1 = 1,x2 = p,x3 = q,(p, q值同An中的p, q)。所以通解是Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n,其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定。

THE END

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